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Cours de Dimensionnement des Structures
Résistance des Matériaux
Table des matières
Introduction 1
1 Hypothèses de la Résistance des Matériaux 1
1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Un peu d’histoire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Le solide étudié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.1 Définition générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3.2 Restriction au cas des poutres droites à plan moyen . . . . . . 5
1.4 Hypothèses sur le matériau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4.1 Homogénéité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.2 Isotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.4.3 Élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Hypothèses fondamentales de la RdM . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.5.1 Principe de Saint-Venant et conséquences . . . . . . . . . . . . 9
1.5.2 Hypothèse de Navier-Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.6 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.1 Efforts extérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.6.2 Liaisons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.7 Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 Torseur des efforts intérieurs - Notion de contrainte 15
2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2 Torseur des efforts intérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.1 Bilan et règles de calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.3 Dénomination des composantes et des sollicitations associées . . . . . 21
2.4 Diagrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5 Notion de contrainte - Vecteur contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.1 Contraintes normale et tangentielle . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.2 Intérêt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.6 Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3 Sollicitation élémentaire : la traction 29
3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.2 Relation contrainte/effort normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.3 L’essai de traction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.4 Relation contrainte/déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.5 Relation déformation/déplacement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.6 Critère de dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
Cours de Dimensionnement des Structures i
Table des matières
3.7 Bilan des relations entre grandeurs globales et locales . . . . . . . . . 38
3.8 Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4 Sollicitation élémentaire : la torsion 43
4.1 Hypothèse complémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.2 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.3 Relation contrainte/moment de torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 Relation contrainte/déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Relation déformation/rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.6 Critère de dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.7 Bilan des relations entre grandeurs globales et locales . . . . . . . . . 52
4.8 Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5 Sollicitation élémentaire : la flexion 57
5.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.2 Relation effort tranchant/moment fléchissant . . . . . . . . . . . . . . 58
5.3 Relation contrainte normale/moment fléchissant . . . . . . . . . . . . 60
5.4 Équation de la déformée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.5 Contraintes tangentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
5.6 Ordre de grandeur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
5.7 Critère de dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
5.8 Bilan des relations entre grandeurs globales et locales . . . . . . . . . 66
5.9 Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
6 Concentration de contraintes 71
6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.2 Mise en évidence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
6.3 Coefficient de concentration de contraintes . . . . . . . . . . . . . . . 75
6.4 Abaques, formules approchées et logiciels . . . . . . . . . . . . . . . . 76
6.5 Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
7 Le flambage 81
7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7.2 Flambage d’Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
7.3 Dimensionnement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
7.4 Ce qu’il faut retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
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