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第二章 波函数和薛定谔方程
微观粒子的基本属性不能用经典语言确切描述。 量子力学用波函数描述微观粒子的运动状态，波函数所遵从的方程——薛定谔方程是量子力学的基本方程。
这一章开始介绍量子力学的基本理论与方法。
主要介绍：1.二个基本假设：A. 微观粒子行为由波函数描述,波函数具有统计意义。B. 描述微观粒子行为的波函数由薛定谔方程解出。2. 用定态薛定谔方程求解三个简单问题：A. 一维无限深势阱B. 一维谐振子C. 势垒贯穿（隧道效应）
§2.1. 物质波的波函数及其统计解释
1. 波函数： 用波函数描述微观客体的运动状态。
例：一维自由粒子的波函数
推广 ：三维自由粒子波函数
2. 波函数的强度——模的平方
3. 波函数的统计解释
用光栅衍射与电子衍射对比的方式理解波函数的统计解释。
t 时刻，出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的粒子数与总粒子数之比。
t 时刻，粒子出现在空间（x,y,z）点附近单位体积内的概率。
t 时刻，粒子在空间分布的概率密度
4、 波函数的归一化条件和标准条件
归一化条件
粒子在整个空间出现的概率为1
标准条件：一般情况下，
有关特殊情况波函数所满足的条件参看曾谨言教程。
对微观客体的数学描述： 脱离日常生活经验，避免借用经典语言引起的表观矛盾
§2.2.、态的迭加原理
态迭加原理是量子力学中一个很重要的原理，这一节先作一些初步介绍，随着学习量子力学内容的不断深入，会不断加深对态迭加原理的理解。
一、量子态和波函数
用波函数 Ψ（r,t）来描述微观粒子的量子态。当Ψ（r,t）给定后，如果测量其位置，粒子出现在点的几率密度为 。
波函数的统计解释也是波粒二项性的一种体现。
经典波：遵从迭加原理，两个可能的波动过程迭加后也是一个可能的波动过程。如：惠更斯原理。
描述微观粒子的波是几率波，是否可迭加？意义是否与经典相同？
二、量子力学的态的迭加原理
1、经典物理中，光波或声波遵守态迭加原理：二列经典波φ1与φ2线性相加，φ=aφ1+bφ2, 相加后的φ也是一列波，波的干涉、衍射就是用波的迭加原理加以说明的。量子力学的二个态的迭加原理（P22倒7行）：如果Ψ1与Ψ2是体系的可能状态，那么它们的 线性迭加态 Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2，（c1 、c2是复数）也是这个体系的一个可能状态。
2、例：以双缝衍射实验（见上面图），推广到任意多态的一般态迭加原理：
衍射图样的产生证实了干涉项的存在。
3、态的迭加原理
如果Ψ1、Ψ2、Ψ3…是体系可能的状态，则它们的线性迭加态Ψ=c1Ψ1+c2Ψ2+ c3Ψ3…=∑ciΨi也是体系的一个可能状态。当体系处在迭加态Ψ时，体系部分处在Ψ1态、也部分处在Ψ2态，…等，即各有一定几率处在迭加之前的各个态Ψi。
4、说明：
（1）量子力学使用最多的是把可以实现的态分解为某一个算符本征态的迭加。
（2）如同经典波的分解和迭加，量子力学的态的迭加也是波函数的迭加，而不是的迭加。
三、一个结论：任何一个波函数都可以看作是各种不同动量的平面波的迭加
数学表示式：
这在数学上是成立的，这正好是非周期函数的富叶立展开。
一维情况 ：
说明：
1、在态Ψ（r,t）的粒子，它的动量没有确定的值，由上式可知：粒子可处于任何一个态Ψp（r,t） ，但是当粒子的状态确定后，粒子动量集于某一确定值的几率是一定的。
2、由于量子力学的态的迭加原理是几率波的迭加，所以φ1 +φ1=2φ1不是新的态，只不过未归一化。在态φ=c1φ1+c2φ1进行测量时，发现粒子要么处在φ1 ，要么处在φ2。
§2.3. 薛定谔方程
是量子力学的基本假设之一，只能建立，不能推导，其正确性由实验检验。
1. 建立 （简单→复杂， 特殊→一般）
一维自由粒子的振幅方程
非相对论考虑
2. 一维定态薛定谔方程
3. 三维定态薛定谔方程
4. 一般形式薛定谔方程
5. 多粒子体系的薛定谔方程
讨论：
1、薛定谔方程也称波动方程，描述在势场U中粒子状态随时间的变化规律。
2 、建立方程而不是推导方程，正确性由实验验证。薛定谔方程实质上是一种基本假设，不能从其他更基本原理或方程推导出来，它的正确性由它解出的结果是否符合实验来检验。
3、薛定谔方程是线性方程。是微观粒子的基本方程，相当于牛顿方程。
4、自由粒子波函数必须是复数形式，否则不满足自由粒子薛定谔方程。
5、薛定谔方程是非相对论的方程。
量子力学的中心任务就是求解薛定谔方程。
求解问题的思路：
1. 写出具体问题中势函数U(r)的形式代入方程
2. 用分离变量法求解
3. 用归一化条件和标准条件确定积分常数
4. 讨论解的物理意义，
薛定谔的另一伟大科学贡献
《What is life？》
薛定谔(Schroding,1897-1961)奥地利人,因发现原子理论的有效的新形式一波动力学与狄拉克(Dirac,1902-1984)因创立相对论性的波动方程一狄拉克方程,共同分享了1933年度诺贝尔物理学奖
§2.4 粒子流密度和粒子数守恒定律
（或几率流密度和几率守恒定律）
本节要引入几率流密度概念，有了它就可以把几率与电流联系起来。
由薛定谔方程出发，讨论粒子在一定空间区域内出现的几率将怎样随时间变化。所以可以看作对薛定谔方程的讨论。
设ψ已归一化，q为单粒子的电荷，则=几率密度(w)； dV= dV的几率；q=电荷密度(ρ)； qdV=dV的电荷。
几率流密度（J）含义=单位时
间垂直流过单位面积几率。J公式=？ 先介绍几率的连续方程。
一、 几率的连续方程与几率流密度
类比：已知电荷有连续方程：
其中，ρ电荷密度,
电流密度。
若从数学上能推出如下公式：
通过类比，就可定义为几率流密度J，
这个方程也就是几率的连续方程。
下面推导这个公式 ：
在非相对论情况下，实物粒子没有产生和甄灭，所以，在随时间的演化过程中，粒子数目保持不便。对一个粒子来说，在全空间中找到粒子的概率之总和应不随时间变化, 即:
由薛定谔方程出发:
得：
其中：
所以：
定义：几率流密度
得几率的连续方程：
二、几率守恒定律
对几率的连续方程：
两边对一个封闭的体积V积分，并利用高斯公式，得：
表示：左=体积V内单位时间几率的增加量=右=单位时间从体积外流向体积内的几率量，这就是几率守恒定律。有连续方程一定有守恒定律，两者是等价的。几率守恒定律表明几率不会凭空产生，也不会凭空消失。
三、质量、电荷守恒定律1．mW：质量密度，mJ：质量流密度。
质量守恒定律
2．qW：电荷密度，qJ：电流密度。
电荷守恒定律
四、波函数标准条件：连续，单值，有限。 单值与有限，由波函数的统计含义所定。， 连续，由几率的连续方程所确定。
另外，一般情况下，还要求波函数一阶导数也连续。
说明：
几率守恒具有定域性质。当粒子在某地的概率减小了，必然在另外一些地方的概率增加了，使总概率不变，并且伴随着有什么东西在流动来实现这种变化。连续性就意味着某种流的存在。
§2.5 定态薛定谔方程
一．定态薛定谔方程条件：V（r,t）=V(r)， 与t无关。用分离变量法, 令Ψ=φ(r)f(t)，代入薛定谔方程，得两个方程：
此称定态薛定谔方程
整个定态波函数形式：
特点：
A. 波函数由空间部分函数与时间部分函数相乘；
B．时间部分函数是确定的。
定态波函数几率密度W与t无关，几率分布不随时间而变，因此称为定态。重点要掌握如何用定态薛定谔方程求解问题。
二、本征方程、本征函数与本征值
算符 本征方程：λ：本征值，有多个，甚至无穷多个。ψλ：本征值为λ的本征函数。也有多个，甚至无穷多个，有时一个本征值对应多个不同的本征函数，这称为简并。若一个本征值对应的不同本征函数数目为N，则称N重简并。
三、 定态情况下的薛定谔方程一般解
说明：1、定态薛定谔方程或不含时的薛定谔方程是能量本征方程，E就称为体系的能量本征值（energy eigenvalue），而相应的解 称为能量的本征函数（energy eigenfunction）。
2、是体系的哈密顿量算符，当不显含t时，体系的能量是收恒量，可用分离变量。
3、解定态薛定谔方程，关键是写出哈密顿量算符。
§2.7 一维势场中的粒子能量的一般性质
一维问题的一般性质：七条性质（见曾谨言教程）。
§2.8 一维(无限深)势阱
一、一维势阱实例
如：金属中的自由电子。
金属粒子有规则的排列成行，1）电子在金属内部势能为常数，认定为零；2）表面有一个势阶。总之，此时电子势能可以近似认为是一个方势阱形式。
二、微分方程
三、一维无限深势阱求解
四、宇称
§2.9 线性谐振子
什么叫谐振子？弹簧振动、单摆就是谐振子，它们的位移或角位移满足方程：
谐振子在物理中很重要，很多物理问题都可以近似按谐振子处理。比如固体中的每个原子的微振动，就可以看成在各自平衡位置作简谐振动。双原子分子的振动可化为谐振子。
这节介绍求解线性谐振子（一维）的定态薛定谔方程，解出波函数与能量，并作些讨论.
三．谐振子的几率分布
结论：1. 在经典振幅之外，仍有粒子出现，这也是量子效应。2．从前几个波函数曲线看，量子与经典没有什么相似，但当n很大时，量子的平均结果与经典曲线相似。
4. 熟记有关结论。
四、S维各项同性谐振子
五、位移谐振子
六、耦合谐振子（对角化解耦）
Summary:
1、由于谐振子势具有空间反射不变性，按定理3的推论，必有确定的宇称。
可证：
2、基态：能量：并不为零，称为零点能（zero-point energy）。
是微观粒子的波动-粒子两重性的表现。
处于基态的谐振子在空间的概率分布是一个高斯型分布，在原点处找到粒子的概率最大。按经典力学的观点，基态谐振子只允许在的区域中运动，而属于经典禁区，但按照量子力学中波函数的统计诠释，粒子有一定概率处于经典禁区（量子效应），可以计算此概率（考研究生题）。
3、能量本征值随量子数n的变化不但是断续的，而且是等间距的，间距只和振子的固有频率有关。
4、“能量量子化”和“零点能存在”是量子振子能量不同于经典振子能谱的两大特点。均是波动性的体现。
5、熟练掌握本节内容。
6、“突然近似”，谐振子：k突然变成2k；无限势阱：a突然变成2a。
§2.10 势垒贯穿
势垒贯穿－能量低于势垒高度的粒子有一定几率穿过势垒。
例：势垒贯穿现象—金属电子的热发射-电子有冷发射：如果给金属加上一个外电场（约1000000V/CM），使金属成为阴极，则该电场会使电子释放出来而形成电流，这种现象叫金属电子的冷发射。
应用:
1973年:固体中的隧道效应,
半导体中的隧道效应.
约朔夫森, 江琦, 迦埃非.1986年:设计世界上第一架电子显微镜,设计隧道效应显微镜.
鲁斯卡, 宾尼(德国),罗雷尔因(瑞士).
1997年：量子隧道效应。
经典物理无法理解势垒贯穿。∵E＝T＋V，T＝E－V＜0，不可能,本节介绍量子力学如何解释势垒贯穿，以及如何计算穿过势垒的几率。
一、 一维方势垒
二、 求解
三、 势垒贯穿几率
讨论:
1.经典:E<U0 时, 无反射.
(1)量子力学:有反射.
(2)共振透射, 研究D, Dmax=1条件:
于是D就发生振荡,叫做共振透射.
(3) 都有反射和透射.
2. E<U0 (隧道效应).
用于基因突变率的计算.
(1)D与U0, E, a 有关;
(2)隧道效应;
a=1 埃 D 0.1
a=2埃 D 0.0012
a=5埃 D 0.0000017
a=10埃 D 0.00000000003
习题: (1) 2.8,
(2) 剖析：p34或曾书p43。2.3. 求动能为E的粒子对 势垒的投射系数。
第二章 波函数和薛定谔方程 （小结）
一.波函数统计解释
二.态迭加原理
三.薛定谔方程
四.粒子流密度和粒子数守恒定律
五.定态薛定谔方程
六.一维无限深势阱
七.线性谐振子
八.势垒贯穿
几个概念：波函数，宇称，定态，简并，
束缚态，量子化，零点能，隧道效应，
数学：厄米方程，厄米方程多项式 势垒。P244。
超越方程曾书p34，一维有限深势阱。
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2011-2-28 09:45:20
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喧嚣卡
千斤顶
楼主 
